Aritz Adin
18/11/2024
| Death (all causes) | Survivors | |
|---|---|---|
| Sulphinpyrazole | 41 | 692 |
| Placebo | 60 | 682 |
Definimos las variables:
X=“Nº de fallecidos entre los que tomaron sulfinpirazona.” \(\sim Bin(n_X,\pi_X)\)
Y=“Nº de fallecidos entre los que tomaron placebo” \(\sim Bin(n_Y,\pi_Y)\)
Las estimaciones de las proporciones \(\pi_X\) y \(\pi_Y\) se calculan como:
\[\hat{\pi}_X=p_X=\dfrac{41}{41+692}=0.0559\]
\[\hat{\pi}_Y=p_Y=\dfrac{60}{60+682}=0.0809\] Podemos calcular el intervalo de confianza al 90% para la diferencia de proporciones como:
\[IC_{0.90}(\pi_X-\pi_Y) = \left[(p_X-p_Y) \pm z_{0.95} \sqrt{\frac{p_X*(1-p_X)}{n_X}+\frac{p_Y*(1-p_Y)}{n_Y}} \right] = [-0.0465, -0.0033]\]
x <- 41
y <- 60
nx <- 41+692
ny <- 60+682
prop.test(c(x,y), c(nx,ny), alternative="two.sided", conf.level=0.9, correct=FALSE)
2-sample test for equality of proportions without continuity
correction
data: c(x, y) out of c(nx, ny)
X-squared = 3.5923, df = 1, p-value = 0.05805
alternative hypothesis: two.sided
90 percent confidence interval:
-0.046513082 -0.003342954
sample estimates:
prop 1 prop 2
0.05593452 0.08086253 Interpretación: Con un nivel de confianza del 90%, la diferencia entre la proporción de fallecidos en los pacientes que tomaron sulfinpirazona y la proporción de fallecidos en los pacientes que tomaron placebo se encuentra entre -0.0465 y -0.0033. Como \(0 \notin IC_{0.90}(\pi_X-\pi_Y)\), existen evidencias estadísticas para afirmar que la proporción de fallecidos en ambos grupos es distinta.
El estimador del riesgo relativo es
\[\widehat{RR}=\frac{p_Y}{p_X}=\frac{0.0809}{0.0559}=1.4472\]
Interpretación: La proporción muestral de fallecidos en el grupo placebo es aproximadamente 1.5 veces mayor que en el grupo de sulfinpirazona.
Podemos calcular el intervalo de confianza al 90% para el logaritmo del riesgo relativo:
\[IC_{0.90}\left(\log \left(\frac{\pi_Y}{\pi_X} \right) \right) = \left[\log(p_Y/p_X) \pm z_{0.95}*SE(\log(p_Y/p_X)) \right] = [0.0465, 0.6907]\]
alpha <- 0.1
SE.log <- sqrt((1-py)/(ny*py)+(1-px)/(nx*px))
IC.log <- c(log(RR)-qnorm(1-alpha/2)*SE.log, log(RR)+qnorm(1-alpha/2)*SE.log)
IC.log[1] 0.04647593 0.69066198Transformando este intervalo mediante la función exponencial, obtenemos que \(IC_{0.90}\left(\frac{\pi_Y}{\pi_X}\right) = [\exp(0.0465), \exp(0.6907)]=[1.048, 1.995]\).
Interpretación: Con una confianza del 90%, el riesgo relativo se encuentra entre 1.048 y 1.995. Es decir, la proporción de fallecidos es aproximadamente entre 1.05 y 2 veces mayor en el grupo placebo.
\[\widehat{odds}_{sulfin}=\frac{p_X}{1-p_X}=0.0592\] \[\widehat{odds}_{placebo}=\frac{p_Y}{1-p_Y}=0.0880\]
[1] 0.05924855[1] 0.08797654Interpretación: La probabilidad de sobrevivir en el grupo de pacientes que han tomado sulfinpirazona es aproximadamente 17 veces (\(1/0.0592=16.89\)) superior a la probabilidad de fallecer.
Por otro lado, la probabilidad de sobrevivir en el grupo de pacientes que han tomado placebo es aproximadamente 11 veces (\(1/0.0880=11.36\)) superior a la probabilidad de fallecer fallecer.
El odds ratio estimado, se calcula como el ratio de odds
\[OR=\frac{\widehat{odds}_{sulfin}}{\widehat{odds}_{placebo}}=\frac{0.05924855}{0.08797654}=0.6734585\]
o como la razón del producto cruzado
\[OR=\frac{n_{11} \times n_{22}}{n_{21} \times n_{12}}=\frac{41 \times 682}{60 \times 692}=0.6734586\] Interpretación: El odds estimado de fallecer en el grupo placebo es aproximadamente 1.5 veces (\(1/0.67345=1.484891\)) superior al odds estimado de fallecer en el grupo de pacientes que han tomado sulfinpirazona.
Calculamos el intervalo de confianza al 90% para el odds ratio:
Muertos Vivos
Placebo 60 682
Sulfin 41 692[1] "Placebo vs Sulfin"
oddsratio conf.int.i.OR conf.int.s.OR log.odds
[1,] 1.484872 1.051719 2.096421 0.3953288
relative.risk conf.int.i.RR conf.int.s.RR
[1,] 1.445664 1.047573 1.995036Interpretación: Con una confianza del 90%, el odds ratio se encuentra entre 1.05 y 2.10. Es decir, el odds de fallecer en el grupo de sulfinpirazona es aproximadamente entre 1.05 y 2 veces mayor que el odds de fallecer en el grupo placebo.
La hipótesis nula del contraste se puede expresar como:
\(H_0\): No hay asociación entre tomar el medicamento y sufrir o no un infarto de miocardio (hay independencia)
Si utilizamos la función de R:
Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
data: datos
X-squared = 3.2121, df = 1, p-value = 0.0731Podemos comprobar cómo se calculan los casos esperados:
\[\hat{\mu}_{11}=\dfrac{n_{1+} \times n_{+1}}{n}=\dfrac{(60+682) \times (60+41)}{1475} = 50.80814\] De forma similar, podemos comprobar que el estadístico Ji-cuadrado se calcula como:
No se obtiene exáctamente el mísmo valor que con la función , ya que se aplica una correción de continuidad.
Intepretación del p-valor del test: Como p-valor\(=0.0731<\alpha=0.1\), el test ji-cuadrado rechaza la hipótesis nula de independencia, es decir, tomar el medicamento tiene una influencia en sufrir o no un infarto de miocardio.
Fisher's Exact Test for Count Data
data: datos
p-value = 0.06356
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
90 percent confidence interval:
1.031553 2.147774
sample estimates:
odds ratio
1.484468 Intepretación: Como p-valor\(=0.0636<\alpha=0.1\), el test de Fisher también rechaza la hipótesis nula de independencia. Además, proporciona también el intervalo de confianza para el odds ratio (en este caso el intervalo no contiene al “1”).
| Death | Survivors | |
|---|---|---|
| Placebo | 17 | 115 |
| Ribavirin | 10 | 87 |
Fuente: H-N. Leung, et al. (2004). Investigational Use of Ribavirin in the Treatment of Severe Acute Respiratory Syndrome, Singapore, 2003. Tropical Medicine and International Health,9 (8), pp 923-927.